Задача № 5.149.

Электрон в атоме водорода в -состоянии описывается волновой функцией, радиальная часть которой , где - первый боровский радиус. Найти в этом состоянии:

а) наиболее вероятное расстояние электрона от ядра;

б) среднее расстояние между электроном и ядром.

Решение:

Радиальная часть волновой функции электрона в атоме водорода в -состоянии имеет вид:

(1)

где - некоторая постоянная, которую найдём, используя условие нормировки волновой функции:

(2)

Таким образом, радиальная часть волновой функции электрона примет вид:

(3)

Физический смысл пси-функции состоит в том, что квадрат модуля пси-функции определяет плотность вероятности местонахождения частицы. Тогда вероятность нахождения частицы в шаровом слое радиуса и толщиной равняется:

(4)

Отсюда следует, что вероятность нахождения электрона в шаровом слое единичной толщины равняется:

(5)

Найдём значение , при котором функция (5) имеет максимум:

(6)

(7)

Графически зависимость (5) представлена на рисунке 1:

Рисунок 1

Таким образом, наиболее вероятное расстояние электрона от ядра равняется .

В квантовой механике среднее значение физической величины в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией , определяется следующим выражением:

(8)

где - функция, комплексно сопряжённая к волновой функции , - оператор физической величины . В нашем случае , , поэтому выражение (8) примет вид:

(9)

Таким образом, среднее расстояние между электроном и ядром равняется .

Ответ: а) , б) .